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阅读下列说明和C代码,回答问题1至问题3,将解答写在答题纸的对应栏内。
【说明】
对有向图进行拓扑排序的方法是:
(1)初始时拓扑序列为空;
(2)任意选择一个入度为0的顶点,将其放入拓扑序列中,同时从图中删除该顶点以及从该顶点出发的弧;
(3)重复(2),直到不存在入度为0的顶点为止(若所有顶点都进入拓扑序列则完成拓扑排序,否则由于有向图中存在回路无法完成拓扑排序)。
函数int* TopSort(LinkedDigraph G)的功能是对有向图G中的顶点进行拓扑排序,返回拓扑序列中的顶点编号序列,若不能完成拓扑排序,则返回空指针。其中,图G中的顶点从1开始依次编号,顶点序列为v1,v2,…,vn,图G采用邻接表表示,其数据类型定义如下:
#define MAXVNUM 50  /*最大顶点数*/
typedef struct ArcNode{ /*表结点类型*/
int adjvex;    /*邻接顶点编号*/
struct ArcNode *nextarc;   /*指示下一个邻接顶点*/
}ArcNode;
typedef struct AdjList{ /*头结点类型*/
char vdata;   /*顶点的数据信息*/
ArcNode *firstarc;   /*指向邻接表的第一个表结点*/
}AdjList;
typedef struct LinkedDigraph{     /*图的类型*/
int n;    /*图中顶点个数*/
AdjList Vhead[MAXVNUM];   /*所有顶点的头结点数组*/
}LinkedDigraph;
例如,某有向图G如图4-1所示,其邻接表如图4-2所示。


图4-1  有向图G

函数TopSort中用到了队列结构(Queue的定义省略),实现队列基本操作的函数原型如下表所示:


【C代码】
int *TopSort(LinkedDigraph G) {
ArcNode *p;  /*临时指针,指示表结点*/
Queue Q; /*临时队列,保存入度为0的顶点编号*/
int k = 0;    /*临时变量,用作数组元素的下标*/
int j = 0, w = 0;    /*临时变量,用作顶点编号*/
int *topOrder, *inDegree;
topOrder = (int *)malloc((G.n+1) * sizeof(int));   /*存储拓扑序列中的顶点编号*/
inDegree = (int *)malloc((G.n+1) * sizeof(int));   /*存储图G中各顶点的入度*/
if (!inDegree || !topOrder) return NULL;
(1)  ;   /*构造一个空队列*/
for ( j = 1; j <= G.n; j++ ) {     /*初始化*/
topOrder[j] = 0;  inDegree[j] = 0;
}
for (j = 1; j <= G.n; j++)    /*求图G中各顶点的入度*/
for( p = G.Vhead[j].firstarc; p; p = p->nextarc )
inDegree[p-> adjvex] += 1;
for (j = 1; j <= G.n; j++)   /*将图G中入度为0的顶点保存在队列中*/
if ( 0 == inDegree[j] ) EnQueue(&Q,j);
while (!IsEmpty(Q)) {
(2) ; /*队头顶点出队列并用w保存该顶点的编号*/
topOrder[k++] = w; 
/*将顶点w的所有邻接顶点的入度减1(模拟删除顶点w及从该顶点出发的弧的操作)*/
for(p = G.Vhead[w].firstarc; p; p = p->nextarc) {
(3)-= 1;
if (0 ==(4)) EnQueue(&Q, p->adjvex);
}/* for */
free(inDegree);
if (  (5)  )
return NULL;
return topOrder;
} /*TopSort*/ 

【问题1】(9分)
根据以上说明和C代码,填充C代码中的空(1)~(5)。

【问题2】(2分)
对于图4-1所示的有向图G,写出函数TopSort执行后得到的拓扑序列。若将函数TopSort中的队列改为栈,写出函数TopSort执行后得到的拓扑序列。
【问题3】(4分)
设某有向无环图的顶点个数为n、弧数为e,那么用邻接表存储该图时,实现上述拓扑排序算法的函数TopSort的时间复杂度是(6)。
若有向图采用邻接矩阵表示(例如,图4-1所示有向图的邻接矩阵如图4-3所示),且将函数TopSort中有关邻接表的操作修改为针对邻接矩阵的操作,那么对于有n个顶点、e条弧的有向无环图,实现上述拓扑排序算法的时间复杂度是(7)。

 

参考答案:

【问题1】(9分)  
(1)InitQueue(&Q)      (1分)注:函数名与参数必须完全正确才可得分
(2)DeQueue(&Q,&w)   (2分)注:函数名与参数必须完全正确才可得分
(3)inDegree[p-> adjvex]   及其等价形式    (2分)
(4)inDegree[p->adjvex]     及其等价形式    (2分)
(5)k<G.n  或  k!=G.n    (2分)
【问题2】(2分)
队列方式:v1 v2 v5 v4 v3 v7 v6(或1 2 5 4 3 7 6)  (1分)
栈方式:v1 v2 v5 v4 v7 v3 v6(或1 2 5 4 7 3 6)    (1分)
【问题3】(4分)
(6)O(n+e)   (2分)
(7)O(n2)    (2分)

详细解析:

本题考查数据结构和算法中的拓扑排序算法。
【问题1】
拓扑排序是将有向无环图中所有顶点排成一个线性序列的过程,并且该序列满足:若在有向图中从顶点Vi到Vj有一条路径,则在该线性序列中,顶点Vi必然在顶点Vj之前。
对AOE网进行拓扑排序的方法如下:
① 在AOE网中选择一个入度为零(没有前驱)的顶点且输出它:
② 从网中删除该顶点及其与该顶点有关的所有边;
③ 重复上述两步,直至网中不存在入度为零的顶点为止。
在拓扑排序过程中,需要将入度为0的顶点临时存储起来。函数中用一个队列暂存入度为0且没有进入拓扑序列的顶点。显然,空(1)处应填入InitQueue(&Q)。
进行拓扑排序之前,应先求出网中每个顶点的入度并存入数组inDegree[]中,从而将“从网中删除该顶点及其与该顶点有关的所有边”的操作转换为“相关顶点的入度减1”,一旦发现某个顶点的入度变为0,就将其编号压入堆栈。从而将选择入度为0的顶点操作转化为令队头所代表的顶点出队。
根据注释,空(2)处应填入DeQueue(&Q,&w),实现队头元素出队列的处理。
题中图采用邻接表存储结构,当指针p指向Vi邻接表中的结点时,p->adjvex表示vi的一个邻接顶点,删除vi至顶点p-> adjvex的弧的操作实现为顶点p->adjvex的入度减1,因此,空(3)处应填入inDegree[p->adjvex],当顶点p->adjvex的入度为0时,需要将其加入队列,因此空(4)处也应填入inDegree[p->adjvex]。
空(5)处判断是否所有顶点都加入了拓扑序列,算法中变量k用于对加入序列的顶点计数,因此,空(5)处应填入“k<G.n”或“k!=G.n"。
【问题2】
使用栈和队列的差别在于拓扑序列中顶点的排列次序可能不同。对于本题中的有向图,在使用队列的方式更下:
(1)开始时仅顶点V1的入度为0,因此顶点V1入队:
(2)队头顶点V1出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点V1出发的弧后,仅使顶点v2的入度为0,因此顶点v2入队:
(3)队头顶点v2出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点v2出发的弧后,仅使顶点v5的入度为0,因止顶点v5入队;
(4)队头顶点v5出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点v5出发的弧后,仅使顶点v4的入度为0,因此顶点v4入队;
(5)队头顶点v4出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点v4出发的弧后,仅使顶点v3和v7的入度为0,因此顶点v3和v7依次入队;
(6)队头顶点v3出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点v3出发的弧后,没有产生新的入度为0的顶点;
(7)队头顶点v7出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点v7出发的弧后,使顶点v6的入度为0,因此顶点v6入队;
(8)队头顶点v6出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点v6出发的弧后,没有产生新的入度为0的顶点,队列已空,因此结束拓扑排序过程,得到的拓扑序列为v1 v2 v5 v4 v3 v7 v6。
使用栈保存入度为0的顶点时,前4步都是一样的,因为每次仅有一个元素进栈,因此出栈序列与入栈序列一致。到第5步时,v3和v7依次入栈后,出栈时的次序为v7和v3,因此得到的拓扑序列为v1 v2 v5 v4 v7 v3 v6。
【问题3】
以邻接表为存储结构时,计算各顶点入度的时间复杂度为O(e),建立零入度顶点队列的时间复杂度为O(n)。在拓扑排序过程中,(图中无环情况下)每个顶点进出队列各1次,入度减l的操作在while循环中共执行e次,所以总的时间复杂度为O(n+e) 。
以邻接矩阵为存储结构时,计算各顶点入度时需要遍历整个矩阵,因此时间复杂度为O(n),建立零入度顶点队列的时间复杂度为O(n)。在拓扑排序过程中,(图中无环情况下)每个顶点进出队列各1次,实现入度减1操作时需遍历每个顶点的行向量1遍(时间复杂度为O(n) ),所以总的时间复杂度为O(n2)。

上一题