class Solution {
public:
int squareFreeSubsets(vector<int>& nums) {
}
};
2572. 无平方子集计数
给你一个正整数数组 nums 。
如果数组 nums 的子集中的元素乘积是一个 无平方因子数 ，则认为该子集是一个 无平方 子集。
无平方因子数 是无法被除 1 之外任何平方数整除的数字。
返回数组 nums 中 无平方 且 非空 的子集数目。因为答案可能很大，返回对 109 + 7 取余的结果。
nums 的 非空子集 是可以由删除 nums 中一些元素（可以不删除，但不能全部删除）得到的一个数组。如果构成两个子集时选择删除的下标不同，则认为这两个子集不同。
示例 1：
输入：nums = [3,4,4,5] 输出：3 解释：示例中有 3 个无平方子集： - 由第 0 个元素 [3] 组成的子集。其元素的乘积是 3 ，这是一个无平方因子数。 - 由第 3 个元素 [5] 组成的子集。其元素的乘积是 5 ，这是一个无平方因子数。 - 由第 0 个和第 3 个元素 [3,5] 组成的子集。其元素的乘积是 15 ，这是一个无平方因子数。 可以证明给定数组中不存在超过 3 个无平方子集。
示例 2：
输入：nums = [1] 输出：1 解释：示例中有 1 个无平方子集： - 由第 0 个元素 [1] 组成的子集。其元素的乘积是 1 ，这是一个无平方因子数。 可以证明给定数组中不存在超过 1 个无平方子集。
提示：
1 <= nums.length <= 10001 <= nums[i] <= 30原站题解
python3 解法, 执行用时: 80 ms, 内存消耗: 15.3 MB, 提交时间: 2023-02-26 11:08:24
tmp = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30}
mod = 10 ** 9 + 7
class Solution:
def squareFreeSubsets(self, nums: List[int]) -> int:
cnt = Counter(num for num in nums if num in tmp)
note = Counter({1: 1})
for v in cnt:
if v != 1:
new_note = Counter()
for v1 in note:
new_note[v1] += note[v1]
if gcd(v, v1) == 1:
new_note[v1 * v] += note[v1] * cnt[v]
new_note[v1] %= mod
note = new_note
return (sum(note.values()) * pow(2, cnt[1], mod) - 1) % mod
golang 解法, 执行用时: 12 ms, 内存消耗: 2.4 MB, 提交时间: 2023-02-26 11:07:54
var primes = [...]int{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
var nsq2mask = [31]int{} // nsq2mask[i] 为 i 对应的质数集合（用二进制表示）
func init() {
for i := 2; i <= 30; i++ {
for j, p := range primes {
if i%p == 0 {
if i%(p*p) == 0 { // 有平方因子
nsq2mask[i] = -1
break
}
nsq2mask[i] |= 1 << j // 把 j 加到集合中
}
}
}
}
func squareFreeSubsets(nums []int) int {
const mod int = 1e9 + 7
const m = 1 << len(primes)
f := [m]int{1} // f[j] 表示恰好组成集合 j 的方案数，其中空集的方案数为 1
for _, x := range nums {
if mask := nsq2mask[x]; mask >= 0 { // x 是 NSQ
for j := m - 1; j >= mask; j-- {
if j|mask == j { // mask 是 j 的子集
f[j] = (f[j] + f[j^mask]) % mod // 不选 mask + 选 mask
}
}
}
}
ans := 0
for _, v := range f {
ans += v
}
return (ans - 1) % mod // -1 去掉空集
}
cpp 解法, 执行用时: 20 ms, 内存消耗: 8 MB, 提交时间: 2023-02-26 11:07:32
class Solution {
static constexpr int PRIMES[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
static constexpr int MOD = 1e9 + 7, MX = 30, N_PRIMES = 10, M = 1 << N_PRIMES;
public:
int squareFreeSubsets(vector<int> &nums) {
int nsq2mask[MX + 1]{}; // nsq2mask[i] 为 i 对应的质数集合（用二进制表示）
for (int i = 2; i <= MX; ++i)
for (int j = 0; j < N_PRIMES; ++j) {
int p = PRIMES[j];
if (i % p == 0) {
if (i % (p * p) == 0) { // 有平方因子
nsq2mask[i] = -1;
break;
}
nsq2mask[i] |= 1 << j; // 把 j 加到集合中
}
}
int f[M]{1}; // f[j] 表示恰好组成集合 j 的方案数，其中空集的方案数为 1
for (int x : nums)
if (int mask = nsq2mask[x]; mask >= 0) // x 是 NSQ
for (int j = M - 1; j >= mask; --j)
if ((j | mask) == j) // mask 是 j 的子集
f[j] = (f[j] + f[j ^ mask]) % MOD; // 不选 mask + 选 mask
return (accumulate(f, f + M, 0L) - 1) % MOD; // -1 去掉空集
}
};
java 解法, 执行用时: 11 ms, 内存消耗: 40.6 MB, 提交时间: 2023-02-26 11:07:12
class Solution {
private static final int[] PRIMES = new int[]{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
private static final int MOD = (int) 1e9 + 7, MX = 30, N_PRIMES = PRIMES.length, M = 1 << N_PRIMES;
private static final int[] NSQ_TO_MASK = new int[MX + 1]; // NSQ_TO_MASK[i] 为 i 对应的质数集合（用二进制表示）
static {
for (int i = 2; i <= MX; ++i)
for (int j = 0; j < N_PRIMES; ++j) {
int p = PRIMES[j];
if (i % p == 0) {
if (i % (p * p) == 0) { // 有平方因子
NSQ_TO_MASK[i] = -1;
break;
}
NSQ_TO_MASK[i] |= 1 << j; // 把 j 加到集合中
}
}
}
public int squareFreeSubsets(int[] nums) {
var f = new int[M]; // f[j] 表示恰好组成集合 j 的方案数
f[0] = 1; // 空集的方案数为 1
for (int x : nums) {
int mask = NSQ_TO_MASK[x];
if (mask >= 0) // x 是 NSQ
for (int j = M - 1; j >= mask; --j)
if ((j | mask) == j) // mask 是 j 的子集
f[j] = (f[j] + f[j ^ mask]) % MOD; // 不选 mask + 选 mask
}
var ans = 0L;
for (int v : f) ans += v;
return (int) ((ans - 1) % MOD); // -1 去掉空集
}
}
python3 解法, 执行用时: 700 ms, 内存消耗: 15 MB, 提交时间: 2023-02-26 11:06:55
'''
把无平方因子数的数字记作NSQ。
对于每个[2，30]内的NSQ，通过预处理得到对应的质数集合，用二进制表示。
二进制从低到高第i个比特为1表示第i个质数在集合中，为0表示第i个质数不在集合中。
那么把每个是NSQ的nums[i]转换成对应的质数集合，题自就变成「选一些不相交的质数集合，它们的并集恰好为集合，的方案数」。
'''
PRIMES = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
NSQ_TO_MASK = [0] * 31 # NSQ_TO_MASK[i] 为 i 对应的质数集合（用二进制表示）
for i in range(2, 31):
for j, p in enumerate(PRIMES):
if i % p == 0:
if i % (p * p) == 0: # 有平方因子
NSQ_TO_MASK[i] = -1
break
NSQ_TO_MASK[i] |= 1 << j # 把 j 加到集合中
class Solution:
def squareFreeSubsets(self, nums: List[int]) -> int:
MOD = 10 ** 9 + 7
M = 1 << len(PRIMES)
f = [0] * M # f[j] 表示恰好组成集合 j 的方案数
f[0] = 1 # 空集的方案数为 1
for x in nums:
mask = NSQ_TO_MASK[x]
if mask >= 0: # x 是 NSQ
for j in range(M - 1, mask - 1, -1):
if (j | mask) == j: # mask 是 j 的子集
f[j] = (f[j] + f[j ^ mask]) % MOD # 不选 mask + 选 mask
return (sum(f) - 1) % MOD # -1 去掉空集